القلوب النقية كلما شقيت أملت في أن الفرح قريب جدا.
"مارتن لوثر" يشعر بعض الأشخاص بالحزن، لكونهم سجناء ماضيهم، يعتقد الجميع بأن الاستمرارية في الحياة لا تجوز إلّا بوجود خطة مسبقة. لم يتساءلون مطلقاً ما إذا كانت هذه الخطة من صنعهم أم من صنع الآخرين. لقد جمعوا أفكار وخبرات الآخرين، وكان الأمر أصعب من أن يتعامل معها المرء. ولهذا السبب تخلى البعض عن أحلامه. "بابلو كويلهو" هناك القليل من البراءة الجميلة لدى البشر، لا تقتصر على جعل الشخص إمّا سعيداً أو حزيناً، وإنما على جعله سعيداً وحزيناً، في نفس الوقت. عبارات تجلب السعادة في. "سي جوي بيل" يكمن سر السعادة في الحرية، ويكمن سر الحرية في الشجاعة. "كاري جونز" السعادة والفرح تؤثر في ظهور التجاعيد على الوجه، ومع ذلك يحب البشر أن يشعروا بالسعادة. "ويليام شكسبير" تظهر السعادة الحقيقية دائماً بصورة مزرية بالمقارنة مع التعويض عن البؤس. "ألدوس هوكسلي" الصيغة الرياضية للسعادة: الواقع مقسوماً على التوقعات، كان هناك طريقتين للشعور بالسعادة، أن تثبت الواقع أو أن تقلل من التوقعات. "جودي بيكولت" يفضل المرء السعادة على المعاناة، ويجعل هناك مساحة كافية للمستقبل ليملئ حياته بالمفاجآت السارة. "إليزابيث جيلبيرت" هناك طريقتين للحصول على سعادة كافية، مواصلة جمع الأشياء أكثر فأكثر، والأخرى هي الرغبة الأقل.
– لا ينبغي لي أن أثق في قلبك والسعادة والحزن، وكل شيء يأتيني بفرح مبجل. – نشعر بالسعادة حين ننجز عملاً كبيراً وتمتلئ قلوبنا بالرضا عما أنجزناه. -الحياة كالمرآة ، نحصل على أفضل النتائج عندما نبتسم لها. – الابتسامة هي الثياب التي تجعل الجميع يرتدون مقاساً واحداً. – إن السعادة تكمن في عدم إدراكنا لخطورة ما نحن عليه. – إن الألم لا يحرمنا من السعادة ولكنه فقط يوضح لنا قيمتها. – الابتسامة قد تضيء أشد الأيام حلكة وظلاماً. – أقصر طريق بين البشر هي ابتسامة السعادة – السعادة حرية وهي أكبر من أن تقرن بقيد. كلمات وعبارات جميلة عن السعادة والفرح - مقال. – السعادة لا تستورد بل من داخلنا تولد. عبارات عن السعادة – شقاؤنا وتعاستنا وعدم إحساسنا بالسعادة نتاج لأشياء خارجية عنا سواء ظروف أو حظ أو أشخاص آخرون أو مكان معين. – عندما تتكاثر المصائب يمحو بعضها بعضا وتحل بك سعادة جنونية غريبة المذاق. وتستطيع أن تضحك من قلب لم يعد يعرف الخوف. – قل ما شئت عن الشهرة فإن كل أمجاد العالم وكل حوادثه الخارقة للعادة لا تعادل ساعة واحدة من السعادة العائلية. – حبك سعادة مقطرة أفراحك مباركة في قلبي الذي يجهل رعونة الغيرة وحده الموت يثير غيرتي اذا انفرد بك. – إن السعادة لا تختصر على الرفاهية المادية السعادة هي قبل كل شيء التقاسم: تقاسم المسرات والمرارات.
تطور علم حساب المثلثات وصل البابليون إلى المعلم التالي في تطوير علم المثلثات كنظام رياضي حقيقي عندما قسموا الدائرة إلى 360 قسمًا أو درجة متساوية ، ولقد فعلوا ذلك لأن السنة في تقويمهم بها 360 يومًا لذلك كل يوم يمثل درجة علمية ، وبما أن البابليين استخدموا نظام رقم الأساس 60 على عكس نظامنا الأساسي 10 ، فإن 360 درجة كانت ملائمة مرتبة في رياضياتهم الحالية ، واخترع البابليون أيضًا العقرب وهو جهاز لقياس المسافة الزاوية للنجوم أو الكواكب فوق الأفق والتي كانت تشبه المنقلة. من المثير للاهتمام أن نلاحظ مدى عمق نظام الترقيم البابلي اليوم ، وتحتوي ساعاتنا على 60 دقيقة من 60 ثانية لكل ساعة ، ونستمر في استخدام الدوائر بزاوية 360 درجة ، وتستخدم خرائطنا 60 دقيقة من القوس إلى درجة و 60 ثانية قوسية دقيقة قوس ، وتعتمد الساعات والخرائط والمنقلة في جميع أنحاء العالم على هذا النظام ، على الرغم من أن النظام العشري سيكون أسهل في الاستخدام. مساهمة الإغريق في علم المثلثات كان الإغريق أول من رفع علم المثلثات إلى مستوى فرع مستقل للرياضيات ، وقدم علماء المثلثات اليونانيون مثل فيثاغوروس وإقليدس وأريستارخوس نظرية المثلثية ودافعوا أيضًا عن استخدامات عملية جديدة ، ربما كانت أكثر هذه الاستخدامات طموحًا هي حساب إيراستوستينس لمحيط الأرض وتحديد هيبارخوس لمسافة القمر عن الأرض ، وفي كلتا الحالتين كانت النتائج النهائية قريبة بشكل مدهش من القيم المقبولة حاليًا على الرغم من الأدوات الخام المستخدمة في ذلك الوقت.
تقارب هذه المتطابقات قاعدة جيب التمام للمثلثات المسطحة إذا كانت الأضلاع أصغر بكثير من نصف قطر الكرة. (في كرة الوحدة، إذا كانت a, b, c << 1: نضع و وهكذا. ) في حال كانت أطوال الأقواس الثلاثة بالمثلث الكروي معلومة فيمكن استنتاج قيمة الزاوية المقابلة لكل قوس هكذا: قانون الجيب [ عدل] تعطى قانون الجيب للمثلثات الكروية بواسطة الصيغة التالية: تقارب هذه المتطابقات قانون الجيب للمثلثات المسطحة عندما تكون الأضلاع أصغر بكثير من نصف قطر الكرة. المتطابقات [ عدل] قواعد جيب التمام التكميلية [ عدل] تطبيق قواعد جيب التمام على المثلث القطبي يعطي، أي تعويض A بـ π-a، وa ب π-A... إلخ. صيغ ظل التمام للأجزاء الأربعة للمثلث [ عدل] يمكن كتابة الأجزاء الستة للمثلث بترتيب دائري كـ (aCbAcB). تربط «صيغ ظل التمام»، أو «صيغ الأجزاء الأربعة»، قوسين وزاويتين مشكلة أربعة أجزاء متتالية حول المثلث، على سبيل المثال (aCbA) أو (BaCb). في مثل هذه المجموعة توجد أجزاء داخلية وخارجية: على سبيل المثال في المجموعة (BaCb) تكون الزاوية الداخلية C، والقوس الداخلي هو a، والزاوية الخارجية B، والقوس الخارجي هو b. يمكن كتابة قاعدة ظل التمام على النحو التالي: [1] cos (القوس الداخلي) cos(الزاوية الداخلية) = cot(القوس الخارجي) sin(القوس الداخلي) - cot(الزاوية الخارجية) sin(الزاوية الداخلية) والمقصود بخارجية وخارجي هُنا أي تقع في الشِّقِّ الثاني من المُعادلة بعد علامة "="، وداخلية وداخلي مقصود يقعان قبل علامة يساوي ولذلك توضع الخوارج على طرفي القوسين والدواخل في وسطي القوسين بين الرَّمزين اللذين على الطرفين اليمين واليسار.
ظل الزاوية "ظا الزاوية" tan: هي النسبة طول الضلع المقابل وطول الضلع المجاور. التوابع المثلثية في حساب المثلثات تمثل جيب الزاوية وجيب التمام وظل الزاوية الدوال الأساسية في حساب المثلثات، ويوجد أيضا عدد من الدوال المثلثية التابعة للدوال السابق ذكرها، والتي يمكننا من خلالها معرفة جميع أطوال أضلاع وقياسات زوايا المثلث من خلال معرفة أطوال أضلاعه الثلاث، أو طول ضلع وزاويتين، أو ضلعين وزاوية في المثلث. يتم الحصول على نتائج وقيم التوابع المثلثية من خلال نسب الدوال الأساسية في المثلثات القائمة الزاوية المتشابهة، وهذه هي التوابع المثلثية في حساب المثلثات: ظل الزاوية "ظا الزاوية" tan: هو النسبة بين جيب الزاوية "جا" وجيب تمام الزاوية "جتا". ظل تمام الزاوية "ظتا الزاوية": هو النسبة بين جيب تمام الزاوية "جتا" وجيب الزاوية "جا". قاطع الزاوية "قا الزاوية": هو حاصل قسمة 1 على جيب تمام الزاوية جتا "مقلوب جتا". قاطع تمام الزاوية "قتا الزاوية": هو قيمة حاصل قسمة 1 على جيب الزاوية جا "مقلوب جا".